Легенды и истории

Недоумение крестьянок

 Две крестьянки продавали на базаре яблоки. Одна продавала за 1 копейку 2 яблока, а другая за 2 копейки 3 яблока.

У каждой в корзине было по 30 яблок, так что первая рассчитывала выручить за свои яблоки 15 копеек, а вторая 20 копеек. Обе вместе они должны были выручить 35 копеек. Сообразив это, крестьянки, чтобы не ссориться и не перебивать друг у друга покупателей, решили сложить свои яблоки вместе и продавать их сообща, причём они рассуждали так: «Если я продаю пару яблок за копейку, а ты — три яблока за 2 копейки, то, чтобы выручить свои деньги, надо нам, значит, продавать пять яблок за 3 копейки!»

Сказано — сделано. Сложили торговки свои яблоки вместе (получилось всего 60 яблок) и начали продавать по 3 копейки за 5 яблок.

Распродали и удивились: оказалось, что за свои яблоки они выручили 36 копеек, то есть на копейку больше, чему думали выручить! Крестьянки задумались: откуда взялась «лишняя» копейка и кому из них следует её получить? И как, вообще, им поделить теперь все вырученные деньги?

И в самом деле, как это вышло?

Пока эти две крестьянки разбирались в своей неожиданной прибыли, две другие, прослышав об этом, тоже решили заработать лишнюю копейку.

У каждой из них было тоже по 30 яблок, но продавали они так: первая давала за одну копейку пару яблок, а вторая за копейку давала 3 яблока. Первая после продажи должна была, значит, выручить 15 копеек, а вторая — 10 копеек; обе вместе выручили бы, следовательно, 25 копеек. Они и решили продавать свои яблоки сообща, рассуждая совсем так, как и те две первые торговки: если я продаю за одну копейку пару яблок, а ты за копейку продаёшь 3 яблока, то, значит, чтобы выручить свои деньги, нам нужно каждые 5 яблок продавать за 2 копейки.

Сложили они яблоки вместе, распродали их по 2 копейки за каждые 5 штук, и вдруг… оказалось, что они выручили всего 24 копейки, значит, недовыручили целую копейку.

Задумались и эти крестьянки: как же это могло случиться и кому из них придётся этой копейкой поплатиться?

 

Смекалка кузнеца Хечо

 

Назад тому лет 300 жил в Грузии князь злой и надменный. Была у князя дочь-невеста, Дариджан по имени. Обещал князь свою Дариджан в жёны богатому соседу, а она полюбила простого парня, кузнеца Хечо. Попытались было Дариджан и Хечо убежать в горы от неволи, но поймали их слуги князевы.

Рассвирепел князь и решил назавтра казнить обоих, на ночь же приказал их запереть в высокую, мрачную, заброшенную, недостроенную башню, а вместе с ними ещё и служанку Дариджан, девочку-подростка, которая помогала им бежать.

Не растерялся в башне Хечо, осмотрелся, поднялся по ступенькам в верхнюю часть башни, в окно выглянул — прыгать невозможно, разобьёшься. Тут заметил Хечо около окна забытую строителями верёвку, перекинутую через заржавленный блок, укреплённый повыше окна. К концам верёвки были привязаны пустые корзины, к каждому концу — по корзине. Хечо вспомнил, что при помощи этих корзин каменщики поднимали вверх кирпич, а вниз спускали щебень, причём, если вес груза в одной корзине превышал вес груза в другой примерно на 5 — 6 кг, то корзина довольно плавно опускалась на землю; другая корзина в это время поднималась к окну.

Хечо на глаз определил, что Дариджан весит около 50 кг, служанка не более чем 40 кг. Свой вес Хечо знал — около 90 кг. Кроме того он нашёл в башне цепь весом в 30 кг. Так как в каждой корзине могли поместиться человек и цепь или даже 2 человека, то им всем троим удалось спуститься на землю, причём спускались они так, что ни разу вес опускающейся корзины с человеком не превышал веса поднимающейся корзины более чем на 10 кг.

Как они выбрались из башни?

 

Удивительные часы (китайская головоломка)

 

Как-то в один дом срочно попросили зайти часовщика.

— Я болен, — ответил часовщик, — и не смогу пойти. Но если починка несложная, я пришлю вам своего ученика.

Оказалось, что нужно было поломанные стрелки заменить другими.

— С этим мой ученик справится, — сказал мастер. — Он проверит механизм ваших часов и подберёт к ним новые стрелки.

Ученик отнёсся к работе очень старательно, и когда он закончил осмотр часов, уже стемнело. Считая работу завершённой, он торопливо надел подобранные стрелки и поставил их по своим часам: большую стрелку на цифру 12, а маленькую — на цифру 6 (было ровно 6 часов вечера).

Но вскоре после того, как ученик вернулся в мастерскую, чтобы сообщить мастеру, что работа выполнена, зазвонил телефон. Мальчик взял трубку и услышал сердитый голос заказчика:

— Вы плохо исправили часы, они неправильно показывают время.

Ученик мастера, удивлённый этим сообщением, поспешил к заказчику. Когда он пришёл, отремонтированные им часы показывали начало девятого. Ученик вынул свои карманные часы и протянул их разгневанному хозяину дома:

— Сверьте, пожалуйста. Ваши часы ни на секунду не отстают.

Ошеломлённый заказчик вынужден был согласиться, что его часы в данный момент действительно показывают правильное время.

Но на другой день утром заказчик опять позвонил и сказал, что стрелки часов, очевидно, сошли с ума и разгуливают по циферблату, как им вздумается. Ученик мастера побежал к заказчику. Часы показывали начало восьмого. Сверив время по своим часам, он не на шутку рассердился:

— Вы смеётесь надо мной! Ваши часы показывают точное время!

Часы действительно показывали точное время. Возмущённый ученик мастера хотел тут же уйти, но хозяин удержал его. А через несколько минут они нашли причину столь невероятных происшествий.

Не догадаетесь ли и вы, в чём тут дело?

 

Конверт с деньгами

 

Папа позвонил дочке, попросил её купить кое-что из вещей, нужных ему к отъезду, и сказал, что деньги лежат в конверте на письменном столе. Девочка, мельком взглянув на конверт, увидела написанное на нём число 98, вынула деньги и, не сосчитав их, положила в сумку, а конверт смяла и выбросила.

В магазине она купила на 90 рублей вещей, а когда хотела расплатиться, то оказалось, что у неё не только не остаётся восьми рублей, как она предполагала, но даже не хватает четырёх рублей.

Дома она рассказала об этом папе и спросила, не ошибся ли он, когда считал деньги. Отец ответил, что он сосчитал деньги правильно, а ошиблась она сама. В чём была ошибка девочки?

Спор

 

Трое крестьян Иван, Пётр и Николай за выполненную работу получили мешок зерна. На беду под рукой не оказалось мерки и пришлось делить зерно «на глазок». Старший среди крестьян — Иван — рассыпал зерно на три кучи, как он считал, поровну:

— Первую кучу возьми ты, Пётр, вторая достанется Николаю, а третья мне.

— Я не согласен на это, — возразил Николай, — моя куча зерна ведь самая маленькая.

Поспорили крестьяне. Чуть до ссоры не дошло. Пересыпают зерно из одной кучи в другую, из другой в третью и никак к согласию не придут, обязательно кто-нибудь недоволен.

— Будь мы вдвоём, я да Пётр, — вскричал в сердцах Иван, — я бы мигом разделил. Рассыпал бы зерно на две равные кучи и предложил бы Петру выбрать любую, а оставшуюся взял бы себе. Оба мы были бы довольны. А тут не знаю как и быть.

Задумались крестьяне, как же разделить зерно, чтобы все были довольны, чтоб каждый был уверен, что каждый получил не меньше трети. И придумали.

Придумайте и вы.

Средний сын рыжий

 

Два математика, не достигшие пенсионного возраста, после долгого перерыва встретились на одном из конгрессов. Приведём фрагмент их диалога:

— Ну, а дети у тебя есть?

— Конечно! У меня три сына.

— А сколько им лет?

— Ну, если перемножить, то будет как раз мой возраст. Надеюсь, ты ещё не забыл, сколько мне лет?

— (После короткого размышления). Не понимаю.

— Если сложить их возраст, то получится как раз сегодняшнее число.

— (Вновь после размышления). Всё равно не понимаю.

— Ну, хорошо, скажу ещё, что средний сын у меня рыжий.

— Теперь понял.

А вы можете определить, сколько лет каждому из сыновей?

 

Жадный изобретатель

 

Существует легенда, согласно которой изобретатель шахматной игры запросил у властелина, восхищённого этой игрой, следующую награду: за первую клетку доски — одно пшеничное зерно, за вторую — два, за третью — четыре, и так далее, за каждую последующую — в два раза больше, чем за предыдущую. Считая, что масса одного зерна равна 1/4 г, а максимальный годовой урожай Земли равен 5×1010 т (эта оценка завышена; её можно получить, если считать, что вся пахотная земля идёт под зерновые), оцените, за сколько лет можно собрать по всей Земле урожай, необходимый для выплаты причитающейся награды.

 

Неисправимый спорщик

 

Помнится, в нашей группе был один студент, заядлый спорщик. Почти по любому поводу он предлагал заключить пари, которые, как правило, выигрывал. Так, он спорил, что сумеет угадать, какой будет счёт в матче «Спартак» — «Торпедо» перед началом этого матча. В другой раз он поспорил, что в начинающемся небольшом международном футбольном турнире ни один футболист не забьёт ни одного мяча. И, представьте себе, выиграл этот спор.

Следует признать, что иногда он и проигрывал, но при этом не очень расстраивался. Помнится, он поспорил на рубль с другим студентом, что если тот даст ему 5 рублей, то он даст сдачи 100 рублей. И проиграл это пари.

Поскольку он считал себя ясновидцем и отказывал в этом всем остальным, то в качестве доказательства предлагал следующее пари. Он описывает на бумаге некоторое событие, которое произойдёт, либо не произойдёт в течение ближайших 10 минут. Эта записка кладётся на стол под пепельницу или иной предмет. Его соперник в свою очередь пишет на бумаге одно слово: «да» или «нет». Понятно, что «да» означает, что предполагаемое событие произойдёт, а «нет» — что не произойдёт. По истечении 10 минут записки зачитываются, и если соперник нашего студента угадывает, то он получает 100 рублей, если же не угадывает, то выплачивает студенту 1 рубль. Не могли бы вы догадаться, о каком событии говорилось в записке нашего студента, если он в принципе не мог проиграть?

 

Как денщик сапоги продавал

 

Генерал отправил денщика на рынок продавать сапоги. Цену им он определил в 15 руб. Денщик встретил на рынке двух одноногих инвалидов и продал каждому из них по сапогу по 7 с половиной рублей. Генерал, узнав об этом, заявил, что ветеранам можно было бы уступить сапоги и подешевле. Он дал денщику пятёрку и приказал разыскать инвалидов и вернуть каждому по 2 с половиной рубля. Денщик по дороге зашёл в трактир, 3 рубля прогулял, а затем, найдя инвалидов, вернул каждому по рублю.

А теперь подсчитаем. Каждый из инвалидов заплатил в итоге по 6 с половиной рублей, то есть всего они заплатили 13 руб. 3 рубля денщик прогулял. Имеем 13 + 3 = 16. Откуда взялся лишний рубль?

 

Верёвочка

 

— Ещё верёвочку? — спросила мать, вытаскивая руки из лоханки с бельём. — Можно подумать, что я вся верёвочная. Только и слышишь: верёвочку да верёвочку. Ведь я вчера дала тебе порядочный клубок. На что тебе такая уйма? Куда ты её девал?

— Куда девал бечёвку? — отвечал мальчуган. — Во-первых, половину ты сама взяла обратно…

— А чем же прикажешь мне обвязывать пакеты с бельём?

— Половину того, что осталось, взял у меня Том, чтобы удить в канаве колюшек.

— Старшему брату ты всегда должен уступать.

— Я и уступил. Осталось совсем немного, да из того ещё папа взял половину для починки подтяжек, которые лопнули у него от смеха, когда случилась беда с автомобилем. А после понадобилось ещё сестре взять две пятых оставшегося, чтобы завязать свои волосы узлом…

— Что же ты сделал с остальной бечёвкой?

— С остальной? Остальной-то было всего-навсего 30 см! Вот и устраивай телефон из такого обрывка…

Какую же длину имела бечёвка первоначально?

Эта головоломка принадлежит английскому беллетристу Барри Пэну.

 

Коварный пень

 

Повстречал крестьянин в лесу незнакомого старика. Разговорились. Старик внимательно оглядел крестьянина и сказал:

— Известен мне в леску этом пенёчек один удивительный. Очень в нужде помогает.

— Как помогает? Вылечивает?

— Лечить не лечит, а деньги удваивает. Положишь под него кошель с деньгами, досчитаешь до ста — и готово: деньги, какие были в кошельке, удвоились. Такое свойство имеет. Замечательный пень!

— Вот бы мне испробовать, — мечтательно сказал крестьянин.

— Это можно. Отчего же? Заплатить только надо.

— Кому платить? И много ли?

— Тому платить, кто дорогу укажет. Мне, значит. А много ли, о том особый разговор.

Стали торговаться. Узнав, что у крестьянина в кошельке денег мало, старик согласился получать после каждого удвоения по 1 р. 20 к. На том и порешили.

Старик повёл крестьянина в глубь леса, долго бродил с ним и, наконец, разыскал в кустах старый, покрытый мохом еловый пень. Взяв из рук крестьянина кошелёк, он засунул его между корнями пня. Досчитали до ста. Старик снова стал шарить и возиться у основания пня, наконец извлёк оттуда кошелёк и подал крестьянину.

Заглянул крестьянин в кошелёк и что же? — деньги в самом деле удвоились! Отсчитал из них старику обещанные 1 р. 20 к. и попросил засунуть кошелёк вторично под чудодейственный пень.

Снова досчитали до ста, снова старик стал возиться в кустах у пня, и снова совершилось диво: деньги в кошельке удвоились. Старик вторично получил из кошелька обусловленные 1 р. 20 к.

В третий раз спрятали кошель под пень. Деньги удвоились и на этот раз. Но когда крестьянин уплатил старику обещанное вознаграждение, в кошельке не осталось больше ни одной копейки. Бедняга потерял на этой комбинации все свои деньги. Удваивать дальше было уже нечего, и крестьянин уныло побрёл из лесу.

Секрет волшебного удвоения денег вам, конечно, ясен: старик не даром, отыскивая кошелёк, мешкал в зарослях у пня. Но можете ли вы ответить на другой вопрос: сколько было у крестьянина денег до злополучных опытов с коварным пнём?

 

Два брата и стадо овец

 

Два брата получили в наследства. стадо овец. Продав стадо, они выручили за каждую овцу столько долларов, сколько овец было в стаде. Желая упростить последующие расчёты, братья обменяли все деньги на десятидолларовые купюры. Лишь небольшую сумму (меньше 10 долларов) им пришлось взять серебряными монетами достоинством в 1 доллар. Разложив купюры и монеты на столе, братья приступили к дележу наследства. Каждый из братьев по очереди брал по десятидолларовой купюре до тех пор, пока на столе остались лишь серебряные монеты.

— Так нечестно, — сказал младший из братьев старшему. — Ты взял первую и последнюю купюры. Следовательно, тебе досталось на 10 долларов больше, чем мне.

Чтобы хотя бы частично восполнить ущерб, старший брат предложил младшему взять всё серебро, но младший был по-прежнему недоволен.

— Ты дал мне меньше 10 долларов, — заявил он,— и поэтому должен дать мне ещё.

— Правильно,— согласился старший брат.— Я выпишу тебе чек на такую сумму, что наши доли станут одинаковыми.

Так он и сделал.

Не могли бы вы сказать, на какую сумму выписал чек старший брат?

 

Клуб ЛП

 

Каждый член «Клуба ЛП» принадлежит либо к числу правдолюбцев, имеющих похвальное обыкновение правдиво отвечать на любой заданный им вопрос, или лжецов по призванию, безудержно лгущих, о чём бы их ни спрашивали. Когда я впервые посетил этот клуб, его члены (среди которых не было ни одной женщины) сидели за круглым столом и завтракали. Поскольку отличить по внешнему виду правдолюбца от лжеца решительно невозможно, я спросил у каждого члена клуба по очереди, к какой из двух категорий он принадлежит. Собранные мной сведения оказались не особенно обнадёживающими: каждый член клуба стремился уверить меня в том, что он правдолюбец! Я решил предпринять ещё одну попытку и на этот раз спросить у каждого члена клуба, кто сидит за столом рядом с ним: лжец или правдолюбец. К моему удивлению, все члены клуба в один голос заявили, что сосед слева — лжец.

Вернувшись домой и разбирая заметки, сделанные за завтраком в клубе, я обнаружил, что забыл записать, сколько человек сидело за столом. Позвонив президенту клуба, я узнал, что членами клуба состоят 37 человек. Положив телефонную трубку, я понял, что полагаться на эту цифру было бы крайне опрометчиво, поскольку мне неизвестно, кто избран президентом клуба — лжец или правдолюбец. Поразмыслив, я решил позвонить секретарю клуба, сидевшему за завтраком рядом с президентом.

— Как ни прискорбно, — сообщил мне секретарь, — но должен сказать вам, что наш президент — безудержный лжец. В действительности за столом сидело 40 человек.

Кому мне было верить — президенту или секретарю? И вдруг я понял, что установить истину совсем просто.

Как на основе всех полученных сведений определить число людей, сидевших за столом?

За пять рублей — сто

 

Один эстрадный счетчик на своих сеансах делал публике следующее заманчивое предложение:

— Объявляю при свидетелях, что плачу 100 рублей каждому, кто даст мне 5 рублей двадцатью монетами — по 50, 20 и 5 коп. Сто рублей за пять! Кто желает?

Воцарялось молчание.

Публика погружалась в размышление. Карандаши бегали по листкам записных книжек, — но ответного предложения не поступало.

— Публика, я вижу, находит 5 рублей слишком высокой платой за 100 рублей. Извольте, я готов скинуть два рубля и назначаю пониженную цену: 3 рубля двадцатью монетами названного достоинства. Плачу 100 рублей за 3 рубля! Желающие, составляйте очередь!

Но очередь не выстраивалась. Публика явно медлила воспользоваться редким случаем.

— Неужели и 3 рубля дорого? Хорошо, понижаю сумму ещё на рубль; уплатите указанными двадцатью монетами всего только 2 рубля, и я немедленно вручу предъявителю сто рублей.

Так как никто не выражал готовности совершить обмен, счетчик продолжал:

— Может быть, у вас нет при себе мелких денег? Не стесняйтесь этим, я поверю в долг. Дайте мне только на бумажке реестрик, сколько монет каждого достоинства вы обязуетесь доставить!

В чём состоит секрет столь заманчивого предложения? Почему счетчик нисколько не рисковал собственными деньгами?

 

Кто прав?

 

Два лесоруба, Никита и Павел, работали вместе в лесу и сели завтракать. У Никиты было 4 лепёшки, у Павла — 7. Тут к ним подошёл охотник.

— Вот, братцы, заблудился в лесу, до деревни далеко, а есть очень хочется; поделитесь со мной хлебом-солью!

— Ну, что ж, садись; чем богаты, тем и рады, — сказали Никита и Павел.

11 лепёшек были разделены поровну на троих. После завтрака охотник пошарил в карманах, нашёл гривенник и копейку и сказал:

— Не обессудьте, братцы, больше при себе ничего нет. Поделитесь, как знаете!

Охотник ушёл, а лесорубы заспорили. Никита говорит:

— По-моему, деньги надо разделить поровну!

А Павел ему возражает:

— За 11 лепёшек 11 копеек. И на лепёшку приходится по копейке. У тебя было 4 лепёшки, тебе 4 копейки, у меня 7 лепёшек, мне 7 копеек!

Кто из них сделал правильный расчёт?

 

Что сказал старик?

 

Два молодых казака, оба лихие наездники, часто бились между собой об заклад, кто кого перегонит. Не раз то тот, то другой был победителем, наконец, им это надоело.

— Вот что, — сказал Григорий, — давай спорить наоборот. Пусть заклад достанется тому, чей конь придёт в назначенное место вторым, а не первым.

— Ладно! — ответил Михаил.

Казаки выехали на своих конях в степь. Зрителей собралось множество: всем хотелось посмотреть на такую диковинку. Один старый казак начал считать хлопая в ладоши:

— Раз! .. Два!.. Три!..

Спорщики, конечно, ни с места. Зрители стали смеяться, судить да рядить и порешили, что такой спор невозможен и что спорщики простоят на месте, как говорится, до скончания века. Тут к толпе подошел седой старик, видавший на своем веку разные виды.

— В чём дело? — спрашивает он.

Ему сказали.

— Эге ж! — говорит старик, — вот я им сейчас шепну такое слово, что поскачут, как ошпаренные…

И действительно… Подошел старик к казакам, сказал им что-то, и через полминуты казаки уже неслись по степи во всю прыть, стараясь непременно обогнать друг друга, но заклад все же выигрывал тот, чья лошадь приходила второй.

Что сказал старик?

 

 

Продолжить чтениеЛегенды и истории

Интересная математика

Что подарил Кеплер «любителю Ничего»,

или Почему снежинки шестиугольны?

Перенесемся в Прагу приблизительно на четыреста лет назад, в 1611 год. Тихо кружась, падал первый снег, создавая в воздухе тонкую сказочную паутинку снежинок. Сорокалетний Иоганн Кеплер шел по заснеженной улице. Он был известен как крупный ученый. Уже были открыты первые два из трех его бессмертных законов движения планет вокруг Солнца и опубликованы работы об астрономической рефракции, уже им был изобретен свой телескоп или, как его тогда называли, «труба Кеплера».

Уже пять лет он с семьей жил в Праге. Здесь они поселились в полуразрушенном доме, из окон которого были видны кузнечная мастерская, кабачок да забор, за которым разлилось небольшое болотце. Кеплер занимал должность императорского астронома и математика при дворе Рудольфа II, но по-прежнему зарабатывал деньги астрологическими прогнозами. Он был беден и порой не знал, чем на следующий день будет кормить больную жену и троих детей, не говоря уже о себе самом.

Кеплер шел по улице и смотрел на падающий снег. Он думал о том, что подарить на Новый год своему благодетелю, придворному советнику Иоганну Маттею Вакгеру фон Вакенфельсу. «Оно должно быть и малым, и почти неощутимым, и малоценным, и наименее протяженным, то есть быть почти Ничем».

 «Я перехожу мост, терзаемый стыдом за свою невежливость: ведь я оставил тебя без новогоднего подарка! И тут мне подворачивается удобный случай: водяные пары, сгустившись от холода в снег, выпадают снежинками на мою одежду, все, как одна, с шестиугольными лучами. Клянусь Гераклом, вот вещь, которая меньше любой капли, имеет форму, может служить долгожданным новогодним подарком любителю Ничего, и достойна математика, обладающего Ничем и получающего Ничто, поскольку падает с неба и таит в себе подобие шестиугольной звезды!».

Зайдя в дом, Кеплер взял увеличительное стекло и стал внимательно изучать тающие на глазах снежинки. Он еще долго смотрел на мокрое пятно на рукаве и о чем-то думал. Потом взял бумагу и перо. Сел за рабочий стол и стал быстро записывать, изредка прерываясь из-за кашля….

Примерно в такой обстановке немецкий астроном, физик и математик Иоганн Кеплер создал трактат «Новогодний подарок или о шестиугольных снежинках», опубликованный в 1611 году. Это произведение написано в шутливой форме и очаровывает читателя простотой изложения и искренностью. Кеплер в работе размышляет о форме снежинок: «Почему снежинки, прежде чем сбиться в крупные хлопья, падают шестиугольниками» – и делает вывод, что их форма – следствие особого расположения частиц, из которых они состоят. Он высказывает гениальные догадки о природе и геометрической структуре кристаллов.

Это произведение Кеплера, подаренное им придворному советнику Иоганну Вакгеру фон Вакенфельсу, считается первым по времени кристаллографическим трактатом. Так Кеплер, сам того не подозревая, подарил на Новый год Вакгеру и всему человечеству «самую малость, почти Ничто», основы целой науки – кристаллографии. Желаю вам дарить и получать только самые необычные и оригинальные подарки!

Продолжить чтениеИнтересная математика

Почему мы так говорим?

                                  Откуда произошло слово «синус»

Слово «синус» — латинского происхождения. Если мы посмотрим в латинско-русский словарь, мы увидим там такие значения этого слова: 1) изогнутость, кривизна, изгиб, выпуклость; 2) пазуха, карман, складка тоги (древнеримская одежда) на груди; 3) платье, одежда; 4) грудь, объятия; 5) нежная любовь, забота; 6) середина, центр; 7) убежище, прибежище; 8) залив, бухта; 9) впадина, углубление, провал. Слово «синус» хорошо известно врачам в значении «пазуха», «впадина». Однако ни одно из этих многочисленных значений не имеет никакого отношения к синусу в тригонометрии. Откуда же произошел этот термин?
Тригонометрия появилась впервые в I—II веках нашей эры в Александрии, в работах знаменитых александрийских астрономов, наиболее крупным из которых был Клавдий Птолемей. Однако в тригонометрии Птолемея основным понятием был не синус, а хорда. В книге Птолемея «Математическая система» были таблицы зависимости длин хорд от длин стягиваемых ими дуг, причем дуги измерялись в градусах, минутах и секундах, а хорды— в частях радиуса: здесь радиус считался равным 60 частям, хорды измерялись в этих долях радиуса, в их «минутах» (60-х долях) и в их «секундах» (60-х долях «минут»). Это «шестидесятеричное» деление дуг и хорд было заимствовано александрийскими астрономами у вавилонян.
Слово «хорда» происходит от греческого слова «хорде» — «кишка», «струна» (в древней Греции струны выделывались из воловьих кишок). И в Древней Греции, и в александрийской школе это слово не связывалось с хордой. И Евклид, и Птолемей, и другие александрийские ученые называли хорду «прямой в круге», имея в виду прямолинейный отрезок, вписанный в круг (треугольник, вписанный в круг, они также называли «треугольником в круге»).
В V веке н.э. александрийская научная школа была уничтожена фанатиками-христианами, предводительствуемыми «святым» Кириллом. В это время один из александрийских астрономов-язычников, по имени Паулос, бежал в Индию, где написал изложение достижений александрийских астрономов на санскрите — научном языке индийцев. Эта книга получила у индийцев название «Паулиса-сиддханта» — «Учение Па-улисы», как называли индийцы Пау-лоса. В этой книге хорда называлась санскритским словом «джива», также обозначающим тетиву лука, дута — тем же словом, что и лук, а высота сегмента, ограниченного дугой и стягиваемой ею хордой,— тем же словом, что и стрела.
Позднейшие индийские астрономы и математики, крупнейшим из которых был работавший в VII веке Брахмагупта, заменили хорды полухордами, то есть линиями синуса. Эти линии они сначала называли «ард-джива» — «полутетива», а затем для краткости стали называть их просто «джива».
В VIII веке одна из «сиддхант» индийских ученых была переведена на арабский язык под названием «Синдхинд» (искажение слова «сидд-ханта» произошло под влиянием арабского названия Индии «Хинд»). В этой книге слово «джива», обозначавшее уже не хорду, а линию синуса, было написано арабскими буквами. Но, так как у арабов нет звука «в», а есть только «б» и краткое «у», переводчики на арабский язык написали не «джива», а «джиба». Но в арабском языке обозначаются только долгие гласные, а краткие гласные пропускаются, причем долгое «и» обозначается той же буквой, что и полугласная «й», в слове же «джиба» звук «и» был долгим, а «а» — кратким. Поэтому слово «джиба» писалось по-арабски в точности так же, как слово «джайб», а вскоре его и стали произносить «джайб». Означает же слово «джайб» пазуху, впадину, то есть то, что по-латыни — слово «sinuns». Поэтому, когда в XII веке арабские астрономические и математические книги стали переводить на латинский язык, слово «джайб», означающее линию синуса, было переведено словом «sinus».
В тех же случаях, когда слово «джива» обозначало хорду, арабы перевели его словом «ватар».
Слово «ватар», означавшее не только тетиву, но и струну, было переведено на латынь словом «chorda» — транскрипцией уже известного нам греческого слова «хорде».

Продолжить чтениеПочему мы так говорим?

 10 чисел, на которых держится мир

Чтобы создать Вселенную, даже небольшую, нужны числа, без которых она просто не запустится. Это — фундаментальные константы. С помощью этих десяти чисел можно описать все: и рост снежинок, и взрыв гранаты, и игру на бирже, и движение галактик. А вот откуда они взялись — непонятно. Желающие могут списать их появление на божью волю. А воинствующим атеистам остается только ими пользоваться, объясняя с их помощью как ход эволюции, так и температуру Благодатного огня.

Пространство       

Число Архимеда

Чему равно: 3,1415926535… На сегодня просчитано до 1,24 трлн знаков после запятой.

Кто и когда открыл: Точное авторство неизвестно. Приписывается древним индусам, грекам, китайцам и прочим хорошим людям. Впервые обозначил его греческой буквой π в начале VIII века английский математик Уильям Джонс.

Когда праздновать день π — единственная константа, у которой есть свой праздник, и даже два. 14 марта, или 3.14, соответствует первым знакам в записи числа. А 22 июля, или 22/7 — не что иное, как грубое приближение π дробью. В университетах (например, на мехмате МГУ) предпочитают отмечать первую дату: она, в отличие от 22 июля, не попадает на каникулы
Что такое π? 3,14, число из школьных задач про окружности. И в то же время — одно из главных чисел в современной науке. Физикам π обычно нужно там, где об окружностях ни слова, — скажем, чтобы смоделировать солнечный ветер или взрыв. Число π встречается в каждом втором уравнении — можно открыть учебник теоретической физики наугад и выбрать любое. Если учебника нет, сойдет карта мира. Обычная река cо всеми ее изломами и изгибами в π раз длиннее, чем путь напрямик от ее устья к истоку.

Продолжить чтение 10 чисел, на которых держится мир

Готовимся к экзамену по математике 9 класс

Каталог заданий по типам по темам

Вы можете составить вариант из необходимого вам количества заданий по тем или иным разделам задачного каталога. Для создания стандартных вариантов воспользуйтесь кнопками снизу.

Тема Кол-во заданий
1. За­­дания на 1 балл просмотреть (80 шт.)
2. За­­дания на 2 балла просмотреть (80 шт.)
3. За­­дания на 3 балла просмотреть (80 шт.)
4. За­­дания на 4 балла просмотреть (80 шт.)
5. За­­дания на 5 баллов просмотреть (80 шт.)
6. За­­дания на 6 баллов просмотреть (80 шт.)
7. За­­дания на 7 баллов просмотреть (80 шт.)
8. За­­дания на 8 баллов просмотреть (80 шт.)
9. За­­дания на 9 баллов просмотреть (80 шт.)
10. За­­дания на 10 баллов просмотреть (80 шт.)
Продолжить чтениеГотовимся к экзамену по математике 9 класс

Как готовиться к экзамену по математике

Рекомендации учащимся для подготовки к выпускному экзамену по математике

Не секрет, что успешнее сдает экзамен тот, кто
• в полном объеме владеет материалом;
• хорошо знаком с процедурой проведения экзамена;
• психологически готов к экзамену и адекватно реагирует на нестандартные ситуации.
1. Примеры и задачи, предлагаемые на письменном экзамене по математике составлены так, что их невозможно решить без хорошего усвоения теории. Поэтому при подготовке к экзаменам учащимся необходимо повторить основные вопросы теории:
11 класс:
 преобразование тригонометрических выражений;
 решение тригонометрических уравнений и неравенств;
 иррациональные уравнения;
 показательные уравнения и неравенства;
 логарифмические уравнения и неравенства;
 параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей; многогранники, их виды и свойства (объемы и площадь поверхности);
 тела вращения (объемы тел, площади поверхностей тел);
 функции;
 преобразование выражений.
9 класс:
 действия с десятичными и обыкновенными дробями;
 преобразования выражений, содержащих квадратные корни; тождественные преобразования выражений с использованием формул сокращенного умножения;
 преобразование тригонометрических выражений, решение целых и дробно-рациональных уравнений;
 решение задач, решаемых с помощью уравнений;
 решение систем уравнений;
 решение линейных и квадратичных неравенств и их систем;
 функции: линейная, квадратичная, обратная пропорциональность;
 прогрессии;
 перпендикулярность и параллельность прямых на плоскости; их признаки и свойства;
 признаки равенства треугольников;
 признаки подобия треугольников;
 формулы для вычисления площади треугольников;
 теоремы Пифагора, синусов и косинусов;
 окружность и ее свойства;
 свойства четырехугольников; формулы для вычисления их площади; правильные многоугольники и их свойства.
После повторения каждого вопроса теории нужно прорешать ряд примеров и задач средней трудности. Все непонятные вопросы и нерешенные примеры выписать в тетрадь и обратиться с ними на консультации к учителю или посоветоваться с товарищами. Особое внимание нужно обратить на оформление решений задач, обоснование основных положений, затронутых в примерах и задачах.
При решении уравнений и неравенств не забывать указать область определения.
2. Некоторые советы учащимся во время экзамена:
• Анализ экзаменационных работ показывает, что ошибка, сделанная в самом начале выполнения задания, влечет за собой другие, что приводит к неверному итоговому результату. Не спешите!
• Будьте внимательны: вдумчиво прочитайте условие и четко определите, что от вас требуется!
• Некоторые учащиеся много времени тратят на подробное решение первых несложных заданий , в результате последние задания либо решаются наспех, либо не решаются вообще в связи с нехваткой времени. Возьмите с собой часы, планируйте время!
• Экзаменационные работы часто сдаются без проверки, поэтому в них содержится немало ошибок, которые можно было бы устранить самостоятельно. Будьте внимательны!

Продолжить чтениеКак готовиться к экзамену по математике

В какую профессию можно шагнуть из интереса к математике?

Специальность «Математика» имеется в восьми высших учебных заведениях Республики Беларусь.

Стать преподавателем математики можно, закончив соответствующие факультеты в

  • Белорусском государственном университете,
  • Брестском государственном университете имени А.С.Пушкина,
  • Гомельском государственном университете имени Франциска Скорины,
  • Гродненском государственном университете имени Янки Купалы,
  • Могилевском государственном университете имени А.А.Кулешова,

А преподавателем математики и информатики – закончив

  • Белорусский государственный университет имени М.Танка,
  • Витебский государственный университет имени П.М.Машерова или Мозырский государственный педагогический университет.

Однако математики нужны не только в школах и вузах.

Так, в Белорусском государственном университете на механико-математическом факультете внутри специальности «Математика» выделяется шесть направлений:

  • Научно-производственное
  • Научно-педагогическое
  • Научно-конструкторское
  • Экономическое
  • Информационные системы
  • Информационные технологии

  В каждом направлении выделяются специализации:

  • математические методы в экономике,
  • математическая электроника,
  • компьютерная математика,
  • ев-программирование и Интернет-технологии и др.

Выпускников научно-производственного направления приглашают Институт математики, Институт тепломассообмена, Объединенный институт информатики Национальной Академии наук Беларуси. Студенты, которые изучают математическую электронику, востребованы на предприятии «Интеграл», в НИИ средств автоматизации, на предприятиях оборонного комплекса, многочисленных   Т-кампаниях.

Математиков-экономистов с удовольствием принимают на работу многочисленные банки.

На факультете прикладной математики БГУ можно получить специальности:

  • «Прикладная математика» (математик-программист,
  • преподаватель математики и информатики),
  • «Экономическая кибернетика» (математик-экономист),
  • «Компьютерная безопасность» (специалист по охране информации .Математик),
  • «Информатика» (математик — системный программист),
  • «Актуарная математика» (математик-финансист).

 Математика в университете — это не школьные алгебра и геометрия . В школе даются только азы математики. В вузе математика имеет ярко выраженный прикладной характер, при этом не теряет своей фундаментальности.

 Сегодня на рынке труда около трех тысяч незаполненных вакансий на специалистов прикладного математического направления, в том числе и по информационным технологиям. В дальнейшем потребность в таких специалистах будет только расти.

Продолжить чтениеВ какую профессию можно шагнуть из интереса к математике?

Неделя математики «Математика – царица наук»

С  26 апреля  по 30 апреля    2021 года  проходила  неделя математики «Математика – царица наук» в начальной школе.

Девиз недели: «Математики тропинки одолеем без запинки».

Цель проведения недели:  развитие познавательной и творческой активности обучающихся начальных классов.

Задачи: развивать интеллектуальный и творческий потенциал учащихся, выявлять одарённых детей; развивать коммуникативные навыки между учениками разных возрастов; способствовать воспитанию активной жизненной позиции учащихся; прививать любовь к точным наукам; пробуждать интерес к математике как учебному предмету.

Неделя математики  была яркой и интересной.  Каждый ребенок стал активным участником всех событий недели. Дети попробовали себя в разных ролях, испытали свои силы во многих видах деятельности. Рисовали, мастерили, фантазировали, решали разнообразные задачи и разгадывали загадки.

Учащиеся 1 класса совершили необычное путешествие в загадочный мир занимательной математики. В гостях у ребят побывал Незнайка. С самого начала игры были организованы соревнования между командами  «Плюсики» и «Минусики». Сказочный герой предложил учащимся конкурсы: «Отгадайте ребусы», «Решите весёлые задачки»,  «Загадки», «Посчитай-ка», «Геометрические фигуры»,  «Соедините  по точкам» и «Логический». Дети дружно отвечали на вопросы,   решали задачи, проявили творчество и  смекалку. Самых активных и сообразительных ребят Незнайка наградил  призами.

С целью развития интереса к урокам математики был проведен математическом КВН для учащиеся 2 класса. Ребята с удовольствием решали весёлые задачки, математические ребусы. Свою находчивость дети проявили в конкурсе «Кто быстрее», где нужно было найти закономерности и продолжить ряды чисел, решить примеры. Показать, что математика может быть весёлым и интересным предметом, помогли конкурсы «Самый смекалистый», «Числа в пословицах и поговорках», «Весёлая геометрия», «Самый внимательный», «Вот так задача!». В завершении конкурсной программы все учащиеся были награждены грамотами.

Учащиеся 3 класса приняли активное участие в игре «Путешествие на математическом поезде». С большим удовольствием ребята  решали математические ребусы, разгадывали геометрические загадки, отвечали на шуточные математические вопросы, выполняли задания со счётными палочками.

Не оставила равнодушным ни одного четвероклассника математическая игра «Час весёлых состязаний». Ребята соревновались в быстром счёте, в решении задач на смекалку, разгадывали математические ребусы. Мероприятие способствовало развитию индивидуальных творческих способностей учащихся, содействовало воспитанию чувства коллективизма, взаимопомощи друг другу.

Для учащихся 1-4 классов воспитателем ГПД была проведена интеллектуальная  игра «Самый умный». Ребята  отгадывали математические загадки, решали задачи на внимание, вставляли  числа в загадки, выполняли «шутливые задания по математике», складывали геометрические фигурки. Интеллектуальная игра стимулировала интерес учащихся к математике.

Неделя математики прошла дружно и вовлекла в работу всех учеников. 30 апреля  на общешкольной линейке были подведены итоги и состоялось торжественное вручение грамот и призов не только победителям, но и всем участникам.

Продолжить чтениеНеделя математики «Математика – царица наук»

Как учиться онлайн

http://e-asveta.adu.by/index.php/distancionni-vseobuch/o-obuchenii

Предлагаем несколько советов по организации своего процесса самообучения:

1. МОТИВИРУЙТЕ СЕБЯ

Одна из ключевых причин, почему человек бросает учиться, — это отсутствие мотивациибыстрого результата и применения знаний на практике. Чтобы сразу понять, хватит ли у вас сил и интереса пройти онлайн-обучение, задайте себе вопрос: «Я этого хочу, потому что я правда этого хочу? Или потому что другой этого хочет, и мне кажется, очень хорошо хотеть этого?»

2. ОТЛОЖИТЕ НЕСУЩЕСТВЕННЫЕ ДЕЛА В СТОРОНУ

Для обучения нужно время. Откуда его взять?
Проанализируйте свой рабочий день.
Возможно, Вы обнаружите, что некоторые дела не столь важны (например, просмотр видеороликов на youtube.com) и их можно на время отложить.

3. НАЙДИТЕ СВОЙ РЕЖИМ ОБУЧЕНИЯ

Нет универсального совета, когда учиться.
У кого-то материал усваивается по выходным, у кого-то в дороге (материал можно загрузить на телефон или планшет), кто-то учится во время обеда или по вечерам.

Попробуйте разные варианты и выберите наиболее комфортный для себя режим.

Технологические советы

Выйдите из почты и социальных медиа или отключите автоматические уведомления о приходящих сообщениях на вашем компьютере. Сделайте то же самое и для вашего смартфона или поставьте его на беззвучный режим.

Закройте все другие окна в браузере или используйте для обучения браузер, которым вы не пользуетесь в обычной жизни.

Советы по обустройству места для учебы

Обустройте свое место для обучения так, чтобы вам было комфортно и хотелось там находиться. Закройте дверь (если это необходимо) — это поможет не отвлекаться на шум вокруг.

Напишите свои цели и повесьте список на видное место — это будет вас мотивировать.

Подготовьте тетрадь или блокнот для конспектирования материалов обучения и своих идей.

Психологические советы

Составьте план обучения. Выделите сложные и простые темы, неважную информацию и то, что хорошо было бы знать.

Для обучения достаточно выделять 1–2 часа в день, когда вас не будут беспокоить.

Приблизительный регламент работы: 20 минут вы будете приступать к учебе, 40 минут — учиться.
Также хороша для обучения техника Pomodoro.

Если вы сегодня уже освоили одну тему, то не идите дальше. Остановитесь и продолжите обучение в следующий раз.

Давайте себе вознаграждение за завершение небольших задач (например, одна изученная тема = одна шоколадная конфета).

4. ПРИМЕНЯЙТЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СРАЗУ

Когда вы что-то делаете, то получаете результаты. Независимо от того, позитивные они или нет, вы видите обратную связь. Это дает дополнительную мотивацию учиться дальше.

Подумайте, как вы будете применять полученные знания. Лучше всего сразу в процессе обучения продумать (записать в блокнот) варианты использования изученного материала. Если возможно, применить их на практике.

Не бойтесь ошибиться! Если вы чему-то учитесь, то ошибки неизбежны. Это верный показатель того, что вы двигаетесь вперед и не сдаетесь.

5. ПЕРЕСМАТРИВАЙТЕ СВОИ ЗАПИСИ

Вы когда-нибудь перечитывали книги? Если нет, то попробуйте — вы откроете книгу заново.
С обучением то же самое — что-то мы ухватываем с первого раза, какие-то рекомендации — со второго.

Пересмотрите свои записи в блокноте — вы наверняка что-то упустили или у вас появятся новые идеи.

 

УДАЧИ В ОБУЧЕНИИ!

Продолжить чтениеКак учиться онлайн